Önermeler ve Mantık

Önermeler  ve Mantık

Merhaba arkadaşlar,

Bu yazımda sizlerle Önermeler ve Mantık konusunda paylaşımda bulunacağım.

Önerme :  Bir doğruluk değerine sahip olan bir  ifadedir. Doğruluk değeri kavramının elemanları {0,1} dir. Doğru bir önermenin doğruluk değeri “1”, yanlış bir önermenin ise doğruluk değeri “0” olarak alınır.

*Bu durumda soru anlamı taşıyan hiçbir ifade önerme olarak kabul edilemez.

Mantık : Mantık önermelerin geçerli olup olmadıklarını bazı kurallar çerçevesinde ifade etmeye yarar.

*Mantık önermelerin ne olduğu ile ilgilenmez yalnızca doğruluk değerleri ile ilgilenir.

Örnek:  Aşağıda bazı önerme ve önerme olmayan ifade örnekleri mevcuttur.

1-      Bugün günlerden Salıdır.

2-      4x4 = 64.

3-      Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.

4-      Dün gece partidemiydin ?  (Önerme Değildir)

5-      Çok yaşa FENERBAHÇE. (Önerme Değildir)

*Genel olarak önermeler matematiksel olarak “p,q,r,s,t” gibi sembollerle ifade edilirler.

Önermeler  basit ve birleşik olarak sınıflandırılırlar. Yukarida ki önermeler basit önermelerdir.

Öngörürsünüz ki, basit önermeler  belirli bağlaçlarla birleşik önerme haline getirilebilir. Şimdi bu bağlaçları inceleyelim.

Değil  Bağlacı (Tersini Alma): Bir önermenin doğruluk değerini tersi ile değiştiren bağlaçtır.

­­­­­­­(¬p),(p’) şeklinde gösterilir.

Mantık önermelerin doğruluk değerleri ile ilgilenir demiştik.Bunu en net görüp anlayabilceğimiz yapıda ” Doğruluk Tablosu ” diyebiliriz. Ohalde değil bağlacını doğruluk tablosu ile inceleyelim.

p	¬p
0	1
1	0

Yukarıdaki tabloda herhangi bir p önermesinin ve değil bağlacı ile p nin değili ya da p nin tersi olan ifadenin doğruluk değerlerini görüyoruz.

‘Ve’ Bağlacı : İki tane basit önermenin arasına ‘ ve’ kelimesi olarak koyduğumuz bağlaçtır.

p˄q  olarak ifade ederiz. Aslında ve bağlacı ile bildiğimiz bu bağlacın yaptığı işlem kesişim işlemidir.

Kümelerde kesişimi biliyoruz ve mantıkta da kesişim iki ifadenin de doğruluk değeri  1 olduğunda  doğruluk değeri  1 olan ifadedir. Aşağıda doğruluk tablosundaki değerlerini görebiliriz.

p	q	p˄q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

‘Veya’ Bağlacı : İki tane basit önermenin arasına ‘ veya’ kelimesi olarak koyduğumuz bağlaçtır.

p˅q  olarak ifade ederiz. Aslında veya  bağlacı ile bildiğimiz bu bağlacın yaptığı işlem birleşim işlemidir.Yine kümelerdeki  birleşim işlemini hatırlayacak olursak bir elemanın herhangi bir kümede olması yeterli olduğunu anımsarız. Veya bağlacı ile oluşturulmuş birleşik önermesinde de herhangi bir önermenin doğruluk değerinin 1 olması sonucun doğruluk değerinin 1 olmasını gerektirir.

p	q	p˅q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

‘İse’ Bağlacı : İki tane basit önermenin arasına ‘ise’ kelimesi olarak koyduğumuz bağlaçtır.Koşullu önermeler oluşturmak için kullandığımız bir bağlaçtır.

p => q şeklinde gösterilir. Örnek olarak p: bugün pazartesidir. q: bugün haftanın ilk günüdür.

p => q ifadesi “bugün pazartesi ise haftanın ilk günüdür.”

‘İse’ bağlacı ile oluşturulan birleşik önerme yalnızca 1. önermenin doğruluk değeri 1 ve 2. önermenin doğruluk değeri  0 iken 0 doğruluk değerine sahiptir. Aksi halde doğruluk değeri 1 dir.

p	q	P=>q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

‘Ancak ve Ancak’ Bağlacı : İki tane basit önermenin arasına ‘ancak ve ancak’ kelimesi olarak koyduğumuz bağlaçtır.Koşullu önermeler oluşturmak için kullandığımız bir bağlaçtır.

p <=> q şeklinde gösterilir.

‘Ancak ve Ancak’ bağlacı ile oluşturulan birleşik önermede iki önermenin de doğruluk değeri birbirine eşit iken doğruluk değeri 1 Aksi halde doğruluk değeri 0 dir.

p	q	P<=>q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Ancak ve Ancak ifadesini (p=>q)˄(q=>p) şeklinde düşünebiliriz. Şimdi bunun ispatını yapalım.

p	q	p=>q	q=>p	(p=>q)˄(q=>p)
0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	1	1	1	1

Doğruluk tablosunu oluşturduğumuzda  p<=>q ile (p=>q)˄(q=>p) ifadelerinin doğruluk değerlerinin birbirine eşit olduğunu görüyoruz.

** Sizde p=>q birleşik önermesinin  p’˅q  ile ifade edilebilceğini ispatlayabilirsiniz.

Totoloji ve Çelişki Kavramları :

Totoloji : Bir birleşik önermeyi oluşturan basit önermelerin doğruluk değerleri ne olursa olsun sonucun doğruluk değerinin daima 1 olduğu ifadelere denir.

Çelişki : Totoloji ye benzer bir tanımı vardır. Yalnızca sonuç olarak 0 doğruluk değerine sahiptir.

Örnek olarak;   (p˄q)˅(p˄q)’ ifadesini ele alalım.

p	q	p˄q	(p˄q)’	(p˄q)˅(p˄q)’
0	0	0	1	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	1
1	1	1	0	1

Yukarıda görüldüğü gibi sonuç daima 1 doğruluk değerine sahiptir o halde (p˄q)˅(p˄q)’ birleşik önermesi bir totolojidir.

Mantıksal Denklik :

İki birleşik önerme kendilerini oluşturan önermelerin tüm doğruluk değerleri için aynı doğruluk değerine sahip ise bu iki önerme mantıksal denktir denir. P≡Q şeklinde gösterilir.

Aslında konunun temelini oluşturan önemli bir tanımdır.Örnek olarak p’˅q’  ile (p˄q)’ ifadelerinin mantıksal denk olduğunu doğruluk tablosu yardımıyla görebilirsiniz.

Buraya kadar anlattıklarım önermeler mantığı ile ilgili temel ve basit bilgilerdir.Şimdi konuyu daha derinlemesine ele alacağım.

Önermeler Cebiri :

Önermeler Cebiri yukarıdaki bilgilerin sonucunda mantıksal denklikler ele alınarak oluşturulmuştur.

1-Aynılık (Tek Kuvvet Özelliği):

p ˄ p ≡ p

p ˅ p ≡ p

2- Değişme Özelliği :

p ˄ q ≡ q ˄ p

p ˅ q ≡ q ˅ p

p <=> q ≡ q <=> p

3- Birleşme Özelliği:

(p ˄ q) ˄  r ≡ p ˄ (q ˄ r)

(p ˅ q) ˅  r ≡ p ˅ (q ˅ r)

(p <=> q) <=>  r ≡ p <=> (q <=> r)

4-Yutan Eleman Özelliği :

p ˄ (p ˅ q) ≡ p

p ˅ (p ˄ q) ≡ p

5-Dağılma Özelliği :

p ˄ (q ˅ r) ≡ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)

p ˅ (q ˄ r) ≡ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

6-Çift Ters Özelliği :

(p’)’ ≡ p

7-De Morgan Kuralları :

(p ˅ q)’ ≡ p’ ˄ q’    ** Burada “Ve” işleminin değilinin “Veya” işlemine dönüştüğünü görüyoruz.

(p ˄ q)’ ≡ p’ ˅ q’    ** Burada da “Veya” işleminin değilinin “Ve” işlemine dönüştüğünü görüyoruz.

8-Tamamlama Özelliği :

p ˅ p’ ≡ 1

p ˄ p’ ≡ 0

9-Özdeşlik Özelliği :

p ˅ 1 ≡ 1

p ˅ 0 ≡ p

p ˄ 1 ≡ p

p ˄ 0 ≡ 0

Birkaç tane daha özellik tanımı yapılabilir fakat en önemlisi bu özellikleri mantıksal denklikleri kullanarak bizde bulabiliriz.

Asıl önemli olan Önermeler Cebiri bize doğruluk tablosu kullanmadan ispat yapmayı sağlar. Çok sayıda önermelerden oluşan bir sistemi doğruluk tablosuna koyarak sonucu bulmaya çalışmak gerçekten çok zor.Şimdi sizlere Önermeler Cebiri kullanarak ispatlar birbirine mantıksal denk olan ifadelerin ispatlarını sunacağım.

Örnek :  (p’ ˄ q) ˅ (p ˅ q)’ ≡ p’ ifadesini ispatlayalım.

** (p’ ˄ q) ˅ (p ˅ q)’ ≡ (p’ ˄ q) ˅ (p’ ˄ q’)            2. Birleşik önermeye De Morgan Kuralı uyguladık.

** (p’ ˄ q) ˅ (p ˅ q)’ ≡ p’ ˄ (q ˅ q’)                      Dağılma özelliğini kullandık.

** (p’ ˄ q) ˅ (p ˅ q)’ ≡ p’ ˄ 1                                Tamamlama Özelliğini uyguladık.

** (p’ ˄ q) ˅ (p ˅ q)’ ≡ p’                                      Özdeşlik Özelliğini uyguladık.

Örnek : (p ˄ q)’ ˅ (p’ ˄ q) ˅ (p’ ˄ q’) ≡ p’˅ q’      ifadesini ispatlayalım

** (p’ ˅ q’)  ˅ (p’ ˄ q) ˅ (p’ ˄ q’)                         1. Birleşik önermeye De Morgan Kuralı uyguladık.

** (p’ ˅ q’)  ˅ (p’ ˄ (q ˅ q’))                                 Dağılma Özelliğini uyguladık.

** (p’ ˅ q’)  ˅ (p’ ˄ 1)                                          Tamamlama Özelliğini uyguladık.

** (p’ ˅ q’)  ˅ p’                                                   Özdeşlik Özelliğini uyguladık.

** (p’ ˅ p’)  ˅ q’                                                   Değişme Özelliğini uyguladık.

** p’ ˅ q’                                                              Aynılık Özelliğini uyguladık.

Görüldüğü gibi doğruluk tablosu kullanmak yerine Önermeler Cebiri tanımlarını kullanarak çok daha kolay bir şekilde ispatlarımızı tamamladık.

Bugünkü yazımın sonuna geldim. Umarım faydalı olmuştur.